10th Day । गणित

🔷 इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति (Geometry and Coordinate Geometry)
विषय: रेखाएँ और कोण, समांतर रेखाओं की विशेषताएँ
(मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा हेतु उपयोगी)

✨ 1. रेखाएँ और कोण (Lines and Angles):

🔹 रेखा (Line):

एक रेखा अनंत बिंदुओं की एक सीधी श्रृंखला होती है, जिसका कोई प्रारंभ या अंत नहीं होता।

🔹 प्रकार:

रेखा खंड (Line Segment): प्रारंभ और अंत निश्चित।
किरण (Ray): एक सिरा निश्चित, दूसरी दिशा अनंत।
सीधी रेखा (Straight Line): दोनों दिशा में अनंत फैलाव।

🔶 कोण (Angle):

जब दो रेखाएँ या किरणें एक बिंदु पर मिलती हैं, तो उनके बीच बनने वाले अंतर को कोण कहते हैं।

🧮 कोणों के प्रकार:

कोण	मान	उदाहरण
न्यून कोण (Acute Angle)	0° से कम 90°	∠45°
समकोण (Right Angle)	90°	∠90°
अधिक कोण (Obtuse Angle)	90° से अधिक, 180° से कम	∠120°
समकोणीय रेखाएँ	एक-दूसरे को 90° पर काटने वाली रेखाएँ

✨ 2. समांतर रेखा (Parallel Lines):

🔹 परिभाषा:

जब दो रेखाएँ समान तल (same plane) पर होती हैं और कभी नहीं मिलतीं, उन्हें समांतर रेखाएँ कहते हैं।
चिन्ह: ||
उदाहरण: AB || CD

🔸 त्रिवेणी रेखा (Transversal):

जब कोई तीसरी रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो उसे Transversal कहा जाता है।

🔶 समांतर रेखाओं पर बनने वाले कोणों की विशेषताएँ:

जब समांतर रेखाएँ एक Transversal से कटती हैं, तो निम्नलिखित कोण बनते हैं:

प्रकार	गुण
समानांतर कोण (Corresponding Angles)	बराबर होते हैं
विपरीत अंतः कोण (Alternate Interior Angles)	बराबर होते हैं
विपरीत बहि: कोण (Alternate Exterior Angles)	बराबर होते हैं
समपूरक कोण (Co-interior Angles)	इनका योग 180° होता है

🧠 महत्वपूर्ण सूत्र/तथ्य:

∠1 = ∠5 (समानांतर कोण)
∠3 = ∠6 (विपरीत अंतः कोण)
यदि दो कोण बराबर हैं, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
समकोणीय त्रिभुज में एक कोण 90° होता है।

🧮 उदाहरण:

📌 उदाहरण 1:

यदि दो समांतर रेखाएँ एक Transversal से कटती हैं, और एक कोण 70° है, तो विपरीत अंतः कोण कितना होगा?

➡ उत्तर: 70° (क्योंकि Alternate Interior Angles बराबर होते हैं)

📌 उदाहरण 2:

∠A = 110°, ∠B = ? (Co-interior Angles)

➡ उत्तर: ∠B = 70°, क्योंकि ∠A + ∠B = 180°

🔸 निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry):

🔹 निर्देशांक (Coordinates):

किसी बिंदु की स्थिति दर्शाने के लिए x (क्षैतिज) और y (ऊर्ध्वाधर) अक्ष का उपयोग किया जाता है।

🔹 निर्देशांक प्रणाली:

X-Axis (क्षैतिज)
Y-Axis (ऊर्ध्वाधर)
मूल बिंदु (Origin): (0, 0)
चार चतुर्थांश (Quadrants)

📌 महत्वपूर्ण सूत्र:

कार्य	सूत्र
दो बिंदुओं के बीच दूरी	√[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
मध्य बिंदु	((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)
क्षेत्रफल (त्रिभुज)	½ [x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)]

✅ निष्कर्ष:

रेखाएँ और कोण एक-दूसरे से जुड़े होते हैं।
समांतर रेखाएँ विशिष्ट कोणीय गुण उत्पन्न करती हैं जो गणनाओं और प्रमाणों में उपयोगी होते हैं।
निर्देशांक ज्यामिति के माध्यम से बिंदुओं की स्थिति, दूरी, और क्षेत्रफल मापा जा सकता है।

यहाँ Unit – 8: Geometry and Coordinate Geometry (ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति) में शामिल विषय — रेखाएँ और कोण, समांतर रेखाओं की विशेषताएँ पर आधारित 20+ MCQs (बहुविकल्पीय प्रश्न) दिए जा रहे हैं, जो MP प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 की तैयारी के लिए उपयोगी हैं।

✅ ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति पर आधारित 20+ MCQs

प्रश्न 1: दो रेखाएँ एक-दूसरे को किस बिंदु पर काटती हैं?
A) समांतर बिंदु
B) त्रिज्या
C) प्रतिच्छेदन बिंदु
D) केंद्र
✅ उत्तर: C) प्रतिच्छेदन बिंदु

प्रश्न 2: यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को 90° के कोण पर काटें, तो वे कहलाती हैं –
A) समांतर रेखाएँ
B) लंब रेखाएँ
C) विकर्ण रेखाएँ
D) कोण रेखाएँ
✅ उत्तर: B) लंब रेखाएँ

प्रश्न 3: समांतर रेखाएँ कभी भी –
A) मिलती हैं
B) समान कोण बनाती हैं
C) नहीं मिलतीं
D) त्रिभुज बनाती हैं
✅ उत्तर: C) नहीं मिलतीं

प्रश्न 4: समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटे तो बनते हैं –
A) केवल समकोण
B) चार कोण
C) आठ कोण
D) दो कोण
✅ उत्तर: C) आठ कोण

प्रश्न 5: समांतर रेखाओं को काटने वाली रेखा को क्या कहते हैं?
A) विकर्ण
B) तिर्यक (Transversal)
C) त्रिज्या
D) केंद्र
✅ उत्तर: B) तिर्यक (Transversal)

प्रश्न 6: समांतर रेखाओं पर बनने वाले अन्तः कोण –
A) सम होते हैं
B) अलग होते हैं
C) बराबर नहीं होते
D) 180° से कम होते हैं
✅ उत्तर: A) सम होते हैं

प्रश्न 7: यदि दो कोण पूरक (Complementary) हैं और एक कोण 60° है, तो दूसरा कोण होगा –
A) 60°
B) 30°
C) 120°
D) 90°
✅ उत्तर: B) 30°

प्रश्न 8: यदि दो कोण समकोण (Right Angle) हैं, तो उनमें प्रत्येक का मान होगा –
A) 180°
B) 90°
C) 60°
D) 45°
✅ उत्तर: B) 90°

प्रश्न 9: निर्देशांक (Coordinates) प्रणाली में मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक होते हैं –
A) (1,1)
B) (0,0)
C) (-1,-1)
D) (x,y)
✅ उत्तर: B) (0,0)

प्रश्न 10: निर्देशांक ज्यामिति में x-अक्ष और y-अक्ष मिलकर कितने चतुर्भुज (quadrants) बनाते हैं?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 1
✅ उत्तर: C) 4

प्रश्न 11: यदि एक रेखा क्षैतिज (horizontal) हो, तो वह किस अक्ष के समांतर होती है?
A) x-अक्ष
B) y-अक्ष
C) z-अक्ष
D) कोई नहीं
✅ उत्तर: A) x-अक्ष

प्रश्न 12: यदि कोण A = 70°, तो उसका पूरक कोण (Complement) होगा –
A) 110°
B) 100°
C) 20°
D) 10°
✅ उत्तर: C) 20°

प्रश्न 13: दो समकोण रेखाएँ हमेशा होती हैं –
A) समांतर
B) लंब
C) समकोण
D) कोणहीन
✅ उत्तर: B) लंब

प्रश्न 14: किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग होता है –
A) 180°
B) 360°
C) 90°
D) 270°
✅ उत्तर: A) 180°

प्रश्न 15: दो रेखाएँ एक-दूसरे के पूरक (Supplementary) कोण बनाती हैं, यदि उनका योग –
A) 180° हो
B) 90° हो
C) 60° हो
D) 30° हो
✅ उत्तर: A) 180° हो

प्रश्न 16: समांतर रेखाओं के बीच की दूरी होती है –
A) बदलती रहती है
B) कभी 0
C) हमेशा समान
D) नहीं मापी जा सकती
✅ उत्तर: C) हमेशा समान

प्रश्न 17: निर्देशांक ज्यामिति में बिंदु (3, -2) में 3 क्या दर्शाता है?
A) y-अक्ष
B) x-अक्ष
C) कोण
D) परिधि
✅ उत्तर: B) x-अक्ष

प्रश्न 18: यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो वे कहलाते हैं –
A) पूरक कोण
B) अनुपूरक कोण
C) सम कोण
D) सन्निकट कोण
✅ उत्तर: A) पूरक कोण

प्रश्न 19: तिर्यक रेखा समांतर रेखाओं से कितने कोण बनाती है?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 2
✅ उत्तर: C) 8

प्रश्न 20: समांतर रेखाओं में तिर्यक द्वारा बनने वाले वैकल्पिक कोण होते हैं –
A) बराबर
B) अलग
C) पूरक
D) समकोण
✅ उत्तर: A) बराबर

प्रश्न 21: निर्देशांक (Coordinate) प्रणाली में x और y अक्ष मिलते हैं –
A) अर्धवृत्त में
B) त्रिज्या में
C) मूल बिंदु (Origin) पर
D) कोण में
✅ उत्तर: C) मूल बिंदु (Origin) पर