गणित विषय की Unit – 8: त्रिभुज की असमानता, व्यावहारिक ज्यामिति, त्रिभुज की समस्याएँ और पायथागोरस प्रमेय को मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए सरल, व्याख्यात्मक और उदाहरणों सहित समझाया गया है:
🔷 1. त्रिभुज की असमानता (Triangle Inequality Theorem)
● परिभाषा:
किसी त्रिभुज में दो भुजाओं की लम्बाइयों का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।
📌 सूत्र:
यदि त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं – a, b, c,
तो हमेशा:
- a + b > c
- a + c > b
- b + c > a
✅ उदाहरण:
भुजाएँ हैं: 5 cm, 6 cm, 10 cm
जाँचें कि त्रिभुज बन सकता है या नहीं?
जांचें:
- 5 + 6 = 11 > 10 ✔
- 5 + 10 = 15 > 6 ✔
- 6 + 10 = 16 > 5 ✔
👉 हाँ, त्रिभुज बनेगा।
🔷 2. व्यावहारिक ज्यामिति (Practical Geometry)
● उद्देश्य:
रेखाओं, कोणों और त्रिभुजों को कम्पास, रूलर और प्रोटेक्टर की सहायता से बनाना।
📌 मुख्य निर्माण:
- एक रेखाखंड की लंबाई देना और त्रिभुज बनाना।
- समकोण त्रिभुज बनाना।
- समद्विबाहु त्रिभुज बनाना।
- कोणों का द्विभाजन (Angle bisector)।
- लंब खींचना (Perpendicular)।
✅ उदाहरण:
निर्माण कार्य:
त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें AB = 6 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm
कदम:
- रेखा AB = 6 cm खींचिए।
- बिंदु A से 7 cm की चाप खींचिए।
- बिंदु B से 5 cm की चाप खींचिए।
- दोनों चाप जहाँ मिलें, वहाँ बिंदु C रखें।
- रेखाएं AC और BC मिलाकर त्रिभुज बना लें।
🔷 3. त्रिभुज की समस्याएँ (Problems on Triangles)
● सामान्य प्रश्न प्रकार:
- भुजाओं की तुलना
- कोणों की गणना
- प्रकार निर्धारण (समकोण, समद्विबाहु, समभुज)
✅ उदाहरण 1:
एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ हैं 7 cm, 24 cm और 25 cm। क्या यह समकोण त्रिभुज है?
जांचें:
क्या ?
⇒ ✔
👉 हाँ, यह समकोण त्रिभुज है (पायथागोरस प्रमेय से सिद्ध)
🔷 4. पायथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)
● परिभाषा:
किसी समकोण त्रिभुज में, कर्ण (hypotenuse) का वर्ग = आधार² + ऊँचाई²
📌 सूत्र:
यदि त्रिभुज ABC में ∠B = 90°,
और AB = आधार (base), BC = ऊँचाई (height), AC = कर्ण (hypotenuse)
तो:
AC² = AB² + BC²
✅ उदाहरण:
एक समकोण त्रिभुज में आधार = 6 cm, ऊँचाई = 8 cm है।
तो कर्ण = ?
प्रमेय अनुसार:
AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
⇒ AC = √100 = 10 cm
👉 उत्तर: कर्ण = 10 cm
✅ परीक्षा के लिए जरूरी बातें:
- त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए।
- समकोण त्रिभुज में पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग जरूर करें।
- रेखाचित्र निर्माण के लिए स्केल, कंपास और प्रोटेक्टर का सही उपयोग जानें।
- समभुज, समद्विबाहु, विषमभुज, समकोण त्रिभुजों की विशेषताएँ याद रखें।
Unit – 8: त्रिभुज की असमानता, व्यावहारिक ज्यामिति, त्रिभुज की समस्याएँ और पायथागोरस प्रमेय पर आधारित 20 महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs), जो मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए अत्यंत उपयोगी हैं:
✅ MCQ 1
त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग किससे अधिक होता है?
A) छोटी भुजा से
B) तीसरी भुजा से
C) कोण से
D) कर्ण से
सही उत्तर: B) तीसरी भुजा से
✅ MCQ 2
त्रिभुज की भुजाएँ 3 cm, 4 cm और 5 cm हों, तो यह कैसा त्रिभुज है?
A) समद्विबाहु
B) समकोण
C) समभुज
D) विषमभुज
सही उत्तर: B) समकोण
✅ MCQ 3
यदि किसी त्रिभुज में ∠B = 90°, AB = 5 cm, BC = 12 cm, तो AC = ?
A) 10 cm
B) 13 cm
C) 17 cm
D) 11 cm
सही उत्तर: B) 13 cm
(√(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm)
✅ MCQ 4
किस त्रिभुज में सभी कोण 60° होते हैं?
A) समकोण
B) समभुज
C) समद्विबाहु
D) विषमभुज
सही उत्तर: B) समभुज
✅ MCQ 5
पायथागोरस प्रमेय का प्रयोग किस प्रकार के त्रिभुज पर किया जाता है?
A) समभुज
B) समद्विबाहु
C) समकोण
D) कोई भी
सही उत्तर: C) समकोण
✅ MCQ 6
किस त्रिभुज में दो भुजाएँ बराबर होती हैं?
A) समभुज
B) समद्विबाहु
C) समकोण
D) विषमभुज
सही उत्तर: B) समद्विबाहु
✅ MCQ 7
किसी त्रिभुज में एक कोण 90° हो, तो वह त्रिभुज कहलाता है:
A) समभुज
B) समद्विबाहु
C) समकोण
D) अकोण
सही उत्तर: C) समकोण
✅ MCQ 8
त्रिभुज ABC की भुजाएँ हैं 8 cm, 15 cm, और 17 cm. क्या यह समकोण त्रिभुज है?
A) हाँ
B) नहीं
सही उत्तर: A) हाँ
(8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²)
✅ MCQ 9
त्रिभुज निर्माण के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा उपकरण आवश्यक नहीं है?
A) कंपास
B) स्केल
C) प्रोटेक्टर
D) कैल्कुलेटर
सही उत्तर: D) कैल्कुलेटर
✅ MCQ 10
त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी गई हों: AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 9 cm. क्या त्रिभुज बनेगा?
A) हाँ
B) नहीं
सही उत्तर: B) नहीं
(4 + 5 = 9 ❌; त्रिभुज नहीं बनेगा)
✅ MCQ 11
समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा को क्या कहते हैं?
A) आधार
B) ऊँचाई
C) कर्ण
D) कोण
सही उत्तर: C) कर्ण
✅ MCQ 12
त्रिभुज में कोणों का कुल योग होता है:
A) 180°
B) 90°
C) 270°
D) 360°
सही उत्तर: A) 180°
✅ MCQ 13
त्रिभुज की भुजाएँ दी गई हैं: 7 cm, 24 cm, 25 cm. क्या यह समकोण त्रिभुज है?
A) हाँ
B) नहीं
सही उत्तर: A) हाँ
(7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²)
✅ MCQ 14
पायथागोरस प्रमेय में निम्नलिखित में कौन-सा सही सूत्र है?
A) कर्ण² = आधार² − ऊँचाई²
B) कर्ण² = आधार² + ऊँचाई²
C) कर्ण = आधार × ऊँचाई
D) कर्ण² = कोण² + कोण²
सही उत्तर: B) कर्ण² = आधार² + ऊँचाई²
✅ MCQ 15
त्रिभुज निर्माण की प्रक्रिया किस अध्याय से संबंधित है?
A) बीजगणित
B) व्यावहारिक ज्यामिति
C) संख्या पद्धति
D) क्षेत्रमिति
सही उत्तर: B) व्यावहारिक ज्यामिति
✅ MCQ 16
किस त्रिभुज में सभी भुजाएँ असमान होती हैं?
A) समभुज
B) समद्विबाहु
C) समकोण
D) विषमभुज
सही उत्तर: D) विषमभुज
✅ MCQ 17
त्रिभुज बनाने के लिए किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से क्या होना चाहिए?
A) बराबर
B) कम
C) अधिक
D) समान
सही उत्तर: C) अधिक
✅ MCQ 18
एक त्रिभुज में भुजाएँ हैं: 10 cm, 6 cm, 5 cm. क्या यह त्रिभुज बनेगा?
A) हाँ
B) नहीं
सही उत्तर: A) हाँ
(10 + 5 = 15 > 6 ✔; 10 + 6 = 16 > 5 ✔; 6 + 5 = 11 > 10 ✔)
✅ MCQ 19
त्रिभुज का निर्माण करते समय कोण बनाने के लिए किस यंत्र का प्रयोग होता है?
A) कंपास
B) प्रोटेक्टर
C) स्केल
D) गोणी
सही उत्तर: B) प्रोटेक्टर
✅ MCQ 20
त्रिभुज ABC में AB = 9 cm, BC = 12 cm और ∠B = 90° हो, तो AC = ?
A) 15 cm
B) 21 cm
C) 10 cm
D) 6 cm
सही उत्तर: A) 15 cm
(√(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15)
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