13th Day । गणित

चतुर्भुज (Quadrilateral)

मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए गणित का यह विषय अत्यंत महत्वपूर्ण है। नीचे इसे विस्तारपूर्वक और उदाहरणों सहित समझाया गया है।

🔶 1. चतुर्भुज क्या होता है? (What is a Quadrilateral?)

परिभाषा (Definition):
वह बंद आकृति (closed figure) जो चार भुजाओं (sides) और चार कोनों (angles) से मिलकर बनी हो, चतुर्भुज कहलाती है।

उदाहरण:

वर्ग (Square)
आयत (Rectangle)
समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
ट्रेपेज़ियम (Trapezium)
पतंग (Kite)

🔷 2. चतुर्भुज के कोणों का योग (Sum of Interior Angles of a Quadrilateral)

सिद्धांत:
किसी भी चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग हमेशा 360 अंश (degrees) होता है।

सिद्ध करने का तरीका:
एक चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है।
एक त्रिभुज के तीन कोणों का योग = 180°
तो दो त्रिभुजों का = 180° + 180° = 360°

उदाहरण:
यदि एक चतुर्भुज के तीन कोण हैं:
A = 90°, B = 85°, C = 100°,
तो चौथा कोण D = 360° – (90+85+100) = 85°

🔷 3. चतुर्भुज के प्रकार (Types of Quadrilaterals)

चतुर्भुज कई प्रकार के होते हैं, जिनके भिन्न गुण होते हैं:

(1) वर्ग (Square):

चारों भुजाएँ बराबर होती हैं
चारों कोण 90° के होते हैं
विकर्ण बराबर होते हैं और एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं

उदाहरण: दी गई आकृति में चारों भुजाएँ 5 सेमी की हैं और सभी कोण 90° हैं – यह एक वर्ग है।

(2) आयत (Rectangle):

विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं
चारों कोण 90° के होते हैं
विकर्ण बराबर होते हैं

उदाहरण: भुजाएँ 6 सेमी और 4 सेमी, सभी कोण 90° – यह आयत है।

(3) समांतर चतुर्भुज (Parallelogram):

विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर होती हैं
विपरीत कोण बराबर होते हैं
विकर्ण एक-दूसरे को काटते हैं पर समान नहीं होते

उदाहरण: AB = CD = 5 सेमी, AD = BC = 3 सेमी, AB ∥ CD, AD ∥ BC – समांतर चतुर्भुज।

(4) समद्विबाहु समांतर चतुर्भुज / रम्व (Rhombus):

चारों भुजाएँ बराबर होती हैं
कोण बराबर नहीं होते
विकर्ण समकोण पर काटते हैं लेकिन बराबर नहीं होते

उदाहरण: एक पताका के आकार का चतुर्भुज जिसकी चारों भुजाएँ बराबर – रम्व।

(5) त्रपेज़ियम (Trapezium):

केवल एक जोड़ा विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं
अन्य दो भुजाएँ असमान होती हैं

उदाहरण: AB ∥ CD, लेकिन AD ≠ BC – त्रपेज़ियम।

(6) समद्विबाहु त्रपेज़ियम (Isosceles Trapezium):

एक जोड़ा समांतर भुजाएँ
असमांतर भुजाएँ आपस में बराबर होती हैं
कोण बराबर होते हैं

(7) पतंग (Kite):

दो-दो जोड़ियों की भुजाएँ बराबर होती हैं
एक जोड़ा कोण बराबर होता है
एक विकर्ण दूसरे को समकोण पर काटता है

📌 सारांश (Summary):

चतुर्भुज में 4 भुजाएँ और 4 कोण होते हैं।
किसी भी चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° होता है।
चतुर्भुज के कई प्रकार होते हैं, जैसे वर्ग, आयत, समांतर चतुर्भुज, त्रपेज़ियम, पतंग आदि, जिनके अपने-अपने विशेष गुण होते हैं।

"चतुर्भुज", चतुर्भुज के कोण योग गुण, और चतुर्भुज के प्रकार से संबंधित 20 महत्वपूर्ण बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs) दिए जा रहे हैं, जो मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए उपयोगी हैं:

1. एक चतुर्भुज में कितने भुजाएँ होती हैं?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
उत्तर: B) 4

2. किसी भी चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?
A) 180°
B) 270°
C) 360°
D) 540°
उत्तर: C) 360°

3. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) की कौन-सी विशेषता है?
A) सभी कोण समकोण होते हैं
B) विपरीत भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं
C) सभी भुजाएँ बराबर होती हैं
D) कोई विशेष गुण नहीं
उत्तर: B) विपरीत भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं

4. समकोण चतुर्भुज को क्या कहते हैं?
A) वर्ग
B) समचतुर्भुज
C) आयत
D) समलंब चतुर्भुज
उत्तर: C) आयत

5. सभी भुजाएँ बराबर और सभी कोण 90° हों, वह कौन-सा चतुर्भुज है?
A) समलंब चतुर्भुज
B) वर्ग
C) पतंग
D) समांतर चतुर्भुज
उत्तर: B) वर्ग

6. एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं —
A) अलग-अलग
B) बराबर
C) 180°
D) कोई नियम नहीं
उत्तर: B) बराबर

7. एक समलंब चतुर्भुज (Trapezium) में कितनी भुजाएँ समानांतर होती हैं?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर: A) 1

8. जिसमें कोई भी भुजा समानांतर नहीं होती, उसे क्या कहते हैं?
A) वर्ग
B) समांतर चतुर्भुज
C) स्केलेन चतुर्भुज
D) समकोण चतुर्भुज
उत्तर: C) स्केलेन चतुर्भुज (विषम चतुर्भुज)

9. चतुर्भुज की आकृति होती है —
A) त्रिकोणीय
B) पंचकोणीय
C) चतुर्भुजाकार
D) वृत्ताकार
उत्तर: C) चतुर्भुजाकार

10. आयत में सभी कोण होते हैं —
A) तीव्र
B) अधिककोण
C) समकोण
D) समलंब
उत्तर: C) समकोण

11. चतुर्भुज में कितने विकर्ण होते हैं?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर: B) 2

12. समांतर चतुर्भुज में विकर्ण —
A) बराबर होते हैं
B) परस्पर लम्बवत होते हैं
C) एक-दूसरे को काटते हैं
D) कोई नियम नहीं
उत्तर: C) एक-दूसरे को काटते हैं

13. समचतुर्भुज (Rhombus) की सभी भुजाएँ —
A) अलग-अलग होती हैं
B) समान होती हैं
C) समानांतर होती हैं
D) दो-दो समान होती हैं
उत्तर: B) समान होती हैं

14. समचतुर्भुज में विकर्ण होते हैं —
A) समान
B) असमान
C) लंबवत परस्पर
D) समानांतर
उत्तर: C) लंबवत परस्पर

15. पतंग (Kite) आकृति में कितने जोड़े बराबर भुजाओं के होते हैं?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
उत्तर: B) 2

16. एक वर्ग का प्रत्येक कोण होता है —
A) 90°
B) 45°
C) 60°
D) 120°
उत्तर: A) 90°

17. एक चतुर्भुज जिसमें केवल दो भुजाएँ बराबर होती हैं, वह कहलाता है —
A) वर्ग
B) समांतर चतुर्भुज
C) समकोण चतुर्भुज
D) पतंग
उत्तर: D) पतंग

18. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है —
A) लंबाई × चौड़ाई
B) आधार × ऊँचाई
C) विकर्ण × विकर्ण ÷ 2
D) πr²
उत्तर: B) आधार × ऊँचाई

19. किसी चतुर्भुज के दो कोण 90° और बाकी दो कोण 135° और 45° हैं, तो यह कौन-सा चतुर्भुज हो सकता है?
A) वर्ग
B) समांतर चतुर्भुज
C) विषम चतुर्भुज
D) समकोण चतुर्भुज
उत्तर: C) विषम चतुर्भुज

20. एक वर्ग की सभी भुजाएँ और सभी कोण होते हैं —
A) असमान
B) अलग-अलग
C) समान
D) कोई नियम नहीं
उत्तर: C) समान