14th Day । गणित

मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 की तैयारी हेतु नीचे दिए गए गणित के महत्वपूर्ण टॉपिकों को विस्तारपूर्वक और उदाहरणों सहित समझाया गया है:

📘 1. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) के गुण

🔹 परिभाषा:

समांतर चतुर्भुज वह चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ आपस में समांतर होती हैं।

जैसे: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो
AB ∥ CD और AD ∥ BC

🔸 मुख्य गुण:

क्रमांक	गुण	उदाहरण
1️⃣	विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं	यदि AB = 6 cm, तो CD = 6 cm
2️⃣	विपरीत कोण बराबर होते हैं	∠A = ∠C और ∠B = ∠D
3️⃣	एक ही रेखा पर स्थित कोणों का योग 180° होता है	∠A + ∠B = 180°
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में प्रतिच्छेद करते हैं	AC और BD एक-दूसरे को बीच में काटते हैं
5️⃣	विकर्ण बराबर नहीं होते (आमतौर पर)	AC ≠ BD (यदि समांतर चतुर्भुज विशेष रूप से वर्ग या आयत न हो)

📘 2. चतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होने के लिए आवश्यक शर्तें

🔸 शर्तें (Conditions to be a Parallelogram):

कोई चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज तब होगा जब:

क्रमांक	शर्त	व्याख्या	उदाहरण
1️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ समांतर हों	AB ∥ CD और AD ∥ BC	✅ समांतर चतुर्भुज
2️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ बराबर हों	AB = CD, AD = BC	✅ समांतर चतुर्भुज
3️⃣	एक जोड़ा भुजा बराबर भी हो और समांतर भी	AB = CD और AB ∥ CD	✅ समांतर चतुर्भुज
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटें	AC और BD एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हों	✅ समांतर चतुर्भुज
5️⃣	विपरीत कोण बराबर हों	∠A = ∠C, ∠B = ∠D	✅ समांतर चतुर्भुज

📘 3. मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-Point Theorem)

🔹 प्रमेय का कथन (Statement):

यदि किसी त्रिभुज में किसी दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाया जाए,
तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है और उसकी लंबाई का आधा होती है।

दी गई: त्रिभुज ABC,
D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं।
तो: DE ∥ BC और DE = ½ BC

🔸 उदाहरण:

मान लीजिए,
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AB = 6 cm, AC = 8 cm
D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं।
तो DE रेखा, BC के समांतर होगी, और यदि BC = 10 cm,
तो DE = ½ × 10 = 5 cm

🎯 प्रश्नों के लिए उपयोगी ट्रिक:

टॉपिक	क्या याद रखें?
समांतर चतुर्भुज के गुण	विपरीत भुजाएँ =, विपरीत कोण =, विकर्ण midpoint पर काटते हैं
समांतर चतुर्भुज की शर्तें	1 जोड़ा भुजा बराबर + समांतर, या दोनों जोड़े बराबर
मध्य-बिंदु प्रमेय	midpoint to midpoint = third side का आधा, और समांतर

📝 न्यूनतम अभ्यास प्रश्न (MP प्राथमिक शिक्षक हेतु)

प्रश्न 1: एक समांतर चतुर्भुज में एक कोण 70° है। उसके साथ वाले कोण का मान क्या होगा?

उत्तर:
∵ समांतर चतुर्भुज में एक रेखा पर स्थित कोणों का योग = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 180°
⇒ ∠B = 180 – 70 = 110°

प्रश्न 2: ABC त्रिभुज में AB और AC के मध्य बिंदु D और E हैं। यदि BC = 12 cm है, तो DE की लंबाई बताइए।

उत्तर:
⇒ DE = ½ × BC = ½ × 12 = 6 cm

प्रश्न 3: एक चतुर्भुज की एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर हैं, तो यह किस प्रकार का चतुर्भुज है?

उत्तर:
⇒ यह एक समांतर चतुर्भुज है।

बिलकुल!
मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 की तैयारी हेतु नीचे दिए गए गणित के महत्वपूर्ण टॉपिकों को विस्तारपूर्वक और उदाहरणों सहित समझाया गया है:

📘 1. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) के गुण

🔹 परिभाषा:

जैसे: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो
AB ∥ CD और AD ∥ BC

🔸 मुख्य गुण:

क्रमांक	गुण	उदाहरण
1️⃣	विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं	यदि AB = 6 cm, तो CD = 6 cm
2️⃣	विपरीत कोण बराबर होते हैं	∠A = ∠C और ∠B = ∠D
3️⃣	एक ही रेखा पर स्थित कोणों का योग 180° होता है	∠A + ∠B = 180°
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में प्रतिच्छेद करते हैं	AC और BD एक-दूसरे को बीच में काटते हैं
5️⃣	विकर्ण बराबर नहीं होते (आमतौर पर)	AC ≠ BD (यदि समांतर चतुर्भुज विशेष रूप से वर्ग या आयत न हो)

📘 2. चतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होने के लिए आवश्यक शर्तें

🔸 शर्तें (Conditions to be a Parallelogram):

कोई चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज तब होगा जब:

क्रमांक	शर्त	व्याख्या	उदाहरण
1️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ समांतर हों	AB ∥ CD और AD ∥ BC	✅ समांतर चतुर्भुज
2️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ बराबर हों	AB = CD, AD = BC	✅ समांतर चतुर्भुज
3️⃣	एक जोड़ा भुजा बराबर भी हो और समांतर भी	AB = CD और AB ∥ CD	✅ समांतर चतुर्भुज
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटें	AC और BD एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हों	✅ समांतर चतुर्भुज
5️⃣	विपरीत कोण बराबर हों	∠A = ∠C, ∠B = ∠D	✅ समांतर चतुर्भुज

📘 3. मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-Point Theorem)

🔹 प्रमेय का कथन (Statement):

दी गई: त्रिभुज ABC,
D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं।
तो: DE ∥ BC और DE = ½ BC

🔸 उदाहरण:

🎯 प्रश्नों के लिए उपयोगी ट्रिक:

टॉपिक	क्या याद रखें?
समांतर चतुर्भुज के गुण	विपरीत भुजाएँ =, विपरीत कोण =, विकर्ण midpoint पर काटते हैं
समांतर चतुर्भुज की शर्तें	1 जोड़ा भुजा बराबर + समांतर, या दोनों जोड़े बराबर
मध्य-बिंदु प्रमेय	midpoint to midpoint = third side का आधा, और समांतर

📝 न्यूनतम अभ्यास प्रश्न (MP प्राथमिक शिक्षक हेतु)

उत्तर:
⇒ DE = ½ × BC = ½ × 12 = 6 cm

उत्तर:
⇒ यह एक समांतर चतुर्भुज है।

📘 1. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) के गुण

🔹 परिभाषा:

जैसे: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो
AB ∥ CD और AD ∥ BC

🔸 मुख्य गुण:

क्रमांक	गुण	उदाहरण
1️⃣	विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं	यदि AB = 6 cm, तो CD = 6 cm
2️⃣	विपरीत कोण बराबर होते हैं	∠A = ∠C और ∠B = ∠D
3️⃣	एक ही रेखा पर स्थित कोणों का योग 180° होता है	∠A + ∠B = 180°
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में प्रतिच्छेद करते हैं	AC और BD एक-दूसरे को बीच में काटते हैं
5️⃣	विकर्ण बराबर नहीं होते (आमतौर पर)	AC ≠ BD (यदि समांतर चतुर्भुज विशेष रूप से वर्ग या आयत न हो)

📘 2. चतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होने के लिए आवश्यक शर्तें

🔸 शर्तें (Conditions to be a Parallelogram):

कोई चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज तब होगा जब:

क्रमांक	शर्त	व्याख्या	उदाहरण
1️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ समांतर हों	AB ∥ CD और AD ∥ BC	✅ समांतर चतुर्भुज
2️⃣	दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ बराबर हों	AB = CD, AD = BC	✅ समांतर चतुर्भुज
3️⃣	एक जोड़ा भुजा बराबर भी हो और समांतर भी	AB = CD और AB ∥ CD	✅ समांतर चतुर्भुज
4️⃣	विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटें	AC और BD एक-दूसरे को आधा-आधा काटते हों	✅ समांतर चतुर्भुज
5️⃣	विपरीत कोण बराबर हों	∠A = ∠C, ∠B = ∠D	✅ समांतर चतुर्भुज

📘 3. मध्य-बिंदु प्रमेय (Mid-Point Theorem)

🔹 प्रमेय का कथन (Statement):

दी गई: त्रिभुज ABC,
D और E क्रमशः AB और AC के मध्य बिंदु हैं।
तो: DE ∥ BC और DE = ½ BC

🔸 उदाहरण:

🎯 प्रश्नों के लिए उपयोगी ट्रिक:

टॉपिक	क्या याद रखें?
समांतर चतुर्भुज के गुण	विपरीत भुजाएँ =, विपरीत कोण =, विकर्ण midpoint पर काटते हैं
समांतर चतुर्भुज की शर्तें	1 जोड़ा भुजा बराबर + समांतर, या दोनों जोड़े बराबर
मध्य-बिंदु प्रमेय	midpoint to midpoint = third side का आधा, और समांतर

📝 न्यूनतम अभ्यास प्रश्न (MP प्राथमिक शिक्षक हेतु)

उत्तर:
⇒ DE = ½ × BC = ½ × 12 = 6 cm

उत्तर:
⇒ यह एक समांतर चतुर्भुज है।

📘 गणित MCQs – समांतर चतुर्भुज और मध्य-बिंदु प्रमेय पर आधारित

(प्रत्येक प्रश्न के चार विकल्प दिए गए हैं, सही उत्तर नीचे उल्लेखित है)

प्रश्न 1.

यदि किसी समांतर चतुर्भुज के एक कोण का मान 70° है, तो उसके पास वाले कोण का मान क्या होगा?
A) 110°
B) 70°
C) 90°
D) 120°
उत्तर: A) 110°

प्रश्न 2.

समांतर चतुर्भुज की कौन-सी विशेषता सत्य नहीं है?
A) विपरीत कोण बराबर होते हैं
B) सभी कोण समकोण होते हैं
C) विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं
D) विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटते हैं
उत्तर: B) सभी कोण समकोण होते हैं

प्रश्न 3.

एक चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होगा यदि —
A) सभी कोण बराबर हों
B) सभी भुजाएँ बराबर हों
C) एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर हों
D) एक विकर्ण लंबवत हो
उत्तर: C) एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ बराबर और समांतर हों

प्रश्न 4.

यदि समांतर चतुर्भुज ABCD में AB = 10 cm और AD = 8 cm, तो CD और BC का मान क्या होगा?
A) CD = 10 cm, BC = 8 cm
B) CD = 8 cm, BC = 10 cm
C) CD = 10 cm, BC = 10 cm
D) CD = 8 cm, BC = 8 cm
उत्तर: A) CD = 10 cm, BC = 8 cm

प्रश्न 5.

किसी त्रिभुज में यदि दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ा जाए, तो बनी रेखा —
A) तीसरी भुजा से लम्ब होती है
B) तीसरी भुजा की दुगनी होती है
C) तीसरी भुजा के समांतर और आधी होती है
D) तीसरी भुजा से कोई संबंध नहीं
उत्तर: C) तीसरी भुजा के समांतर और आधी होती है

प्रश्न 6.

मध्य-बिंदु प्रमेय किस प्रकार की आकृति पर लागू होती है?
A) वर्ग
B) चतुर्भुज
C) त्रिभुज
D) समचतुर्भुज
उत्तर: C) त्रिभुज

प्रश्न 7.

यदि त्रिभुज ABC में AB और AC के मध्य बिंदु क्रमशः D और E हैं, और BC = 14 cm है, तो DE = ?
A) 14 cm
B) 7 cm
C) 10 cm
D) 12 cm
उत्तर: B) 7 cm

प्रश्न 8.

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों से संबंधित निम्न में से कौन-सा कथन सही है?
A) विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं
B) विकर्ण समान होते हैं
C) विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटते हैं
D) विकर्ण बराबर नहीं होते और एक-दूसरे को नहीं काटते
उत्तर: C) विकर्ण एक-दूसरे को मध्य में काटते हैं

प्रश्न 9.

यदि समांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण 10 cm और दूसरा 6 cm है, तो क्या वे बराबर हैं?
A) हाँ
B) नहीं
C) हमेशा बराबर होते हैं
D) नहीं कहा जा सकता
उत्तर: B) नहीं

प्रश्न 10.

यदि एक चतुर्भुज में दोनों विपरीत कोण बराबर हैं, तो वह आकृति क्या हो सकती है?
A) त्रिभुज
B) समचतुर्भुज
C) समांतर चतुर्भुज
D) घन
उत्तर: C) समांतर चतुर्भुज