15th Day । गणित

इकाई 9 – क्षेत्रमिति: परिमाप और क्षेत्रफल (Mensuration: Perimeter and Area) को मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 की दृष्टि से विस्तारपूर्वक और उदाहरणों सहित समझाया गया है।

🧮 इकाई 9: क्षेत्रमिति (Mensuration)

विषय: परिमाप और क्षेत्रफल

🔹 1. परिमाप (Perimeter) क्या होता है?

परिभाषा:
किसी आकृति की बाहरी सीमाओं की कुल लंबाई को परिमाप कहते हैं।

उदाहरण:
अगर एक आयत की लंबाई 6 मीटर और चौड़ाई 4 मीटर है, तो उसका परिमाप होगा –
👉 परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)
= 2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20 मीटर

🔹 2. क्षेत्रफल (Area) क्या होता है?

परिभाषा:
किसी आकृति की सतह का जो भाग घिरा होता है, उसे उस आकृति का क्षेत्रफल कहते हैं।

उदाहरण:
अगर एक वर्ग की भुजा 5 सेमी है, तो
👉 क्षेत्रफल = भुजा² = 5² = 25 वर्ग सेमी

📐 महत्वपूर्ण आकृतियाँ, सूत्र और उदाहरण

1️⃣ वर्ग (Square)

घटक	सूत्र
परिमाप	4 × भुजा
क्षेत्रफल	भुजा × भुजा

उदाहरण:
भुजा = 6 मीटर
👉 परिमाप = 4 × 6 = 24 मीटर
👉 क्षेत्रफल = 6 × 6 = 36 वर्ग मीटर

2️⃣ आयत (Rectangle)

घटक	सूत्र
परिमाप	2 × (लंबाई + चौड़ाई)
क्षेत्रफल	लंबाई × चौड़ाई

उदाहरण:
लंबाई = 8 मीटर, चौड़ाई = 5 मीटर
👉 परिमाप = 2 × (8 + 5) = 26 मीटर
👉 क्षेत्रफल = 8 × 5 = 40 वर्ग मीटर

3️⃣ त्रिभुज (Triangle)

घटक	सूत्र
परिमाप	तीनों भुजाओं का योग
क्षेत्रफल	(1/2) × आधार × ऊँचाई

उदाहरण:
आधार = 10 सेमी, ऊँचाई = 6 सेमी
👉 क्षेत्रफल = 1/2 × 10 × 6 = 30 वर्ग सेमी

4️⃣ वृत्त (Circle)

घटक	सूत्र
परिमाप (व्यास नहीं दिया हो)	2πr
क्षेत्रफल	πr²

(यहाँ π = 3.14 या 22/7, r = त्रिज्या)

उदाहरण:
त्रिज्या = 7 सेमी
👉 परिमाप = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी
👉 क्षेत्रफल = 22/7 × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी

5️⃣ समभुज त्रिभुज (Equilateral Triangle)

घटक	सूत्र
परिमाप	3 × भुजा
क्षेत्रफल	(√3/4) × भुजा²

उदाहरण:
भुजा = 6 सेमी
👉 परिमाप = 3 × 6 = 18 सेमी
👉 क्षेत्रफल = (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 ≈ 15.59 वर्ग सेमी

6️⃣ समानांतर चतुर्भुज (Parallelogram)

घटक	सूत्र
क्षेत्रफल	आधार × ऊँचाई

उदाहरण:
आधार = 10 सेमी, ऊँचाई = 5 सेमी
👉 क्षेत्रफल = 10 × 5 = 50 वर्ग सेमी

✨ कुछ अन्य उपयोगी बिंदु (Quick Tips)

आकृति	क्षेत्रफल का सूत्र
समलंब चतुर्भुज	(1/2) × (AB + CD) × ऊँचाई
पतंग (Kite)	(1/2) × व्यास1 × व्यास2
रम्बस (Rhombus)	(1/2) × विकर्ण1 × विकर्ण2

📘 अभ्यास प्रश्न (Practice Examples)

प्रश्न: एक बगीचे का आकार आयताकार है जिसकी लंबाई 12 मीटर और चौड़ाई 8 मीटर है। उसका परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
👉 उत्तर:
परिमाप = 2 × (12 + 8) = 2 × 20 = 40 मीटर
क्षेत्रफल = 12 × 8 = 96 वर्ग मीटर

🎯 परीक्षा के लिए विशेष ध्यान दें:

वर्ग और आयत के परिमाप और क्षेत्रफल सबसे ज़्यादा पूछे जाते हैं।
वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल में π का सही प्रयोग करें।
इकाइयों का ध्यान रखें:
परिमाप = मीटर / सेमी आदि
क्षेत्रफल = वर्ग मीटर / वर्ग सेमी आदि

🧮 इकाई 9: क्षेत्रमिति – 20 MCQs

✅ प्रश्न 1:

एक वर्ग की भुजा 9 सेमी है। उसका परिमाप क्या होगा?
(A) 36 सेमी
(B) 81 सेमी
(C) 18 सेमी
(D) 27 सेमी
उत्तर: (A) 36 सेमी

✅ प्रश्न 2:

एक आयत की लंबाई 10 मीटर और चौड़ाई 6 मीटर है। उसका क्षेत्रफल कितना होगा?
(A) 16 वर्ग मीटर
(B) 60 वर्ग मीटर
(C) 32 वर्ग मीटर
(D) 30 वर्ग मीटर
उत्तर: (B) 60 वर्ग मीटर

✅ प्रश्न 3:

त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र क्या है?
(A) आधार × ऊँचाई
(B) πr²
(C) (1/2) × आधार × ऊँचाई
(D) लंबाई × चौड़ाई
उत्तर: (C) (1/2) × आधार × ऊँचाई

✅ प्रश्न 4:

यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल क्या होगा? (π = 22/7)
(A) 154 वर्ग सेमी
(B) 44 वर्ग सेमी
(C) 49 वर्ग सेमी
(D) 77 वर्ग सेमी
उत्तर: (A) 154 वर्ग सेमी

✅ प्रश्न 5:

समभुज त्रिभुज का परिमाप किस सूत्र से निकाला जाता है?
(A) 2 × भुजा
(B) 3 × भुजा
(C) भुजा²
(D) √3 × भुजा
उत्तर: (B) 3 × भुजा

✅ प्रश्न 6:

किसी वर्ग का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी है। उसकी भुजा कितनी होगी?
(A) 8 सेमी
(B) 4 सेमी
(C) 16 सेमी
(D) 10 सेमी
उत्तर: (A) 8 सेमी

✅ प्रश्न 7:

वृत्त की परिधि का सूत्र है –
(A) πr²
(B) 2πr
(C) r/π
(D) πr
उत्तर: (B) 2πr

✅ प्रश्न 8:

एक वर्ग की एक भुजा 12 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल होगा –
(A) 144 वर्ग सेमी
(B) 24 सेमी
(C) 48 वर्ग सेमी
(D) 12 सेमी
उत्तर: (A) 144 वर्ग सेमी

✅ प्रश्न 9:

1 वर्ग मीटर में कितने वर्ग सेमी होते हैं?
(A) 100
(B) 1000
(C) 10000
(D) 100000
उत्तर: (C) 10000

✅ प्रश्न 10:

समलंब चतुर्भुज (Trapezium) का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है –
(A) (1/2) × (AB + CD) × ऊँचाई
(B) आधार × ऊँचाई
(C) πr²
(D) भुजा²
उत्तर: (A) (1/2) × (AB + CD) × ऊँचाई

✅ प्रश्न 11:

यदि आयत का परिमाप 40 मीटर और लंबाई 12 मीटर हो, तो चौड़ाई क्या होगी?
(A) 8 मीटर
(B) 6 मीटर
(C) 10 मीटर
(D) 5 मीटर
उत्तर: (B) 8 मीटर

✅ प्रश्न 12:

यदि वृत्त का व्यास 14 सेमी हो, तो उसकी परिधि कितनी होगी? (π = 22/7)
(A) 44 सेमी
(B) 28 सेमी
(C) 66 सेमी
(D) 88 सेमी
उत्तर: (A) 44 सेमी

✅ प्रश्न 13:

1 हेक्टेयर = कितने वर्ग मीटर?
(A) 10000
(B) 1000
(C) 100
(D) 100000
उत्तर: (A) 10000

✅ प्रश्न 14:

यदि रम्बस (Rhombus) के विकर्ण 6 सेमी और 8 सेमी हों, तो क्षेत्रफल क्या होगा?
(A) 24 वर्ग सेमी
(B) 48 वर्ग सेमी
(C) 36 वर्ग सेमी
(D) 12 वर्ग सेमी
उत्तर: (B) 48 वर्ग सेमी
👉 सूत्र: (1/2) × D1 × D2 = 1/2 × 6 × 8 = 24

✅ प्रश्न 15:

पतंग (Kite) के क्षेत्रफल का सूत्र है –
(A) 2 × व्यास
(B) (1/2) × व्यास1 × व्यास2
(C) व्यास × व्यास
(D) π × व्यास
उत्तर: (B) (1/2) × व्यास1 × व्यास2

✅ प्रश्न 16:

एक वर्गाकार मैदान की परिधि 40 मीटर है। उसकी भुजा होगी –
(A) 8 मीटर
(B) 10 मीटर
(C) 12 मीटर
(D) 14 मीटर
उत्तर: (B) 10 मीटर

✅ प्रश्न 17:

एक आयत का क्षेत्रफल 80 वर्ग मीटर है और उसकी लंबाई 10 मीटर है। चौड़ाई होगी –
(A) 8 मीटर
(B) 10 मीटर
(C) 6 मीटर
(D) 12 मीटर
उत्तर: (A) 8 मीटर

✅ प्रश्न 18:

समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) का क्षेत्रफल निकालने का सूत्र क्या है?
(A) आधार × ऊँचाई
(B) भुजा²
(C) πr²
(D) √3/4 × भुजा²
उत्तर: (A) आधार × ऊँचाई

✅ प्रश्न 19:

यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो वृत्त का क्षेत्रफल –
(A) चार गुना होगा
(B) दोगुना होगा
(C) आधा हो जाएगा
(D) कम हो जाएगा
उत्तर: (A) चार गुना होगा