इकाई 9 – क्षेत्रमिति के अंतर्गत हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) और इससे संबंधित त्रिभुज व चतुर्भुजों का क्षेत्रफल निकालने की विधि को मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 की दृष्टि से विस्तारपूर्वक उदाहरणों सहित समझते हैं:
🟢 हीरोन का सूत्र (Heron’s Formula) क्या है?
हीरोन का सूत्र एक ऐसा सूत्र है, जिसकी मदद से किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle) तब निकाला जाता है जब हमें केवल तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात होती है। कोण या ऊँचाई की जानकारी जरूरी नहीं होती।
🔷 हीरोन का सूत्र:
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ हैं:
👉 a, b और c
तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:
क्षेत्रफल = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}
जहाँ = अर्धपरिमाप (Semi-perimeter)
s = \frac{a + b + c}{2}
🟩 उदाहरण 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालना (हीरोन सूत्र से)
प्रश्न:
एक त्रिभुज की भुजाएँ हैं: 7 सेमी, 8 सेमी और 9 सेमी। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान:
भुजाएँ:
- a = 7 सेमी
- b = 8 सेमी
- c = 9 सेमी
Step 1:
s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12
Step 2:
क्षेत्रफल = \sqrt{12(12 - 7)(12 - 8)(12 - 9)} \\
= \sqrt{12 × 5 × 4 × 3} = \sqrt{720} \approx 26.83 \text{ वर्ग सेमी}
✅ उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्रफल ≈ 26.83 cm²
🟨 हीरोन सूत्र से चतुर्भुज का क्षेत्रफल
यदि कोई चतुर्भुज दो त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, और प्रत्येक त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात हैं, तो हम प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से निकालकर जोड़ सकते हैं।
🟩 उदाहरण 2: चतुर्भुज का क्षेत्रफल (हीरोन सूत्र द्वारा)
प्रश्न:
एक चतुर्भुज ABCD है जिसकी विकर्ण AC = 10 सेमी है और दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ हैं:
- त्रिभुज ABC: AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी, AC = 10 सेमी
- त्रिभुज ACD: AD = 7 सेमी, DC = 9 सेमी, AC = 10 सेमी
समाधान:
त्रिभुज ABC:
- a = 6, b = 8, c = 10
s_1 = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12
क्षेत्रफल = \sqrt{12(12 - 6)(12 - 8)(12 - 10)} \ = \sqrt{12 × 6 × 4 × 2} = \sqrt{576} = 24 cm²
त्रिभुज ACD:
- a = 7, b = 9, c = 10
s_2 = \frac{7 + 9 + 10}{2} = 13
क्षेत्रफल = \sqrt{13(13 - 7)(13 - 9)(13 - 10)} \ = \sqrt{13 × 6 × 4 × 3} = \sqrt{936} ≈ 30.6 cm²
🔷 कुल चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 24 + 30.6 = 54.6 cm²
✅ उत्तर: चतुर्भुज का क्षेत्रफल ≈ 54.6 cm²
🔔 महत्वपूर्ण तथ्य परीक्षा हेतु:
| बिंदु | जानकारी |
|---|---|
| सूत्र | |
| अर्धपरिमाप | |
| उपयोग कब करें | जब केवल भुजाएँ दी हों, ऊँचाई न दी हो |
| त्रिभुज की शर्त | किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक होना चाहिए |
| चतुर्भुज में प्रयोग | विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित करके |
🧠 अभ्यास प्रश्न:
1. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 6 cm और 7 cm हों, तो उसका क्षेत्रफल कितना होगा?
2. एक चतुर्भुज को विकर्ण से दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है, त्रिभुजों की भुजाएँ 7, 8, 9 सेमी और 6, 10, 8 सेमी हैं। चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल निकालिए।
✅ क्षेत्रमिति – हीरोन सूत्र पर आधारित MCQs
प्रश्न 1. हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए किन तत्त्वों की आवश्यकता होती है?
A. ऊँचाई और आधार
B. कोण और आधार
C. तीनों भुजाएँ
D. केवल एक भुजा
उत्तर: C. तीनों भुजाएँ
प्रश्न 2. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm, 8 cm और 9 cm हैं, तो उसका अर्ध परिमाप (s) होगा:
A. 12 cm
B. 11 cm
C. 13 cm
D. 14 cm
उत्तर: A. 12 cm
प्रश्न 3. हीरोन का सूत्र निम्न में से कौन-सा है?
A.
B.
C.
D.
उत्तर: B.
प्रश्न 4. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ 6 cm, 8 cm और 10 cm हैं, तो उसका क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से क्या होगा?
A. 20 cm²
B. 24 cm²
C. 30 cm²
D. 28 cm²
उत्तर: B. 24 cm²
प्रश्न 5. किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ a, b और c हैं। उसका अर्ध परिमाप (s) क्या होगा?
A.
B.
C.
D.
उत्तर: C.
प्रश्न 6. चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने में हीरोन सूत्र का प्रयोग कब किया जा सकता है?
A. जब चारों कोण ज्ञात हों
B. जब चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज हो
C. जब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सके
D. जब केवल विकर्ण ज्ञात हो
उत्तर: C. जब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सके
प्रश्न 7. त्रिभुज ABC की भुजाएँ हैं: 13 cm, 14 cm और 15 cm. उसका क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से क्या होगा?
A. 82 cm²
B. 84 cm²
C. 92 cm²
D. 72 cm²
उत्तर: B. 84 cm²
प्रश्न 8. यदि किसी त्रिभुज की भुजाएँ a = 5 cm, b = 12 cm और c = 13 cm हैं, तो यह त्रिभुज है:
A. समद्विबाहु
B. समबाहु
C. समकोण
D. कोई नहीं
उत्तर: C. समकोण (Pythagoras प्रमेय: )
प्रश्न 9. हीरोन का सूत्र किसने दिया था?
A. यूक्लिड
B. आर्किमिडीज
C. हीरो ऑफ अलेक्ज़ान्ड्रिया
D. न्यूटन
उत्तर: C. हीरो ऑफ अलेक्ज़ान्ड्रिया
प्रश्न 10. त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 5 cm, और 6 cm हैं। अर्ध परिमाप s = 8 cm होगा। तब क्षेत्रफल क्या होगा?
A. 12 cm²
B. 15 cm²
C. 10.39 cm²
D. 14.9 cm²
उत्तर: C. 10.39 cm²
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