8th Day । गणित

यहाँ इकाई – 8 Geometry and Coordinate Geometry (ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति) को मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए विस्तारपूर्वक उदाहरणों सहित समझाया गया है:

---

🔷 Geometry (ज्यामिति)

1️⃣ समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)

जब दो रेखाएं एक-दूसरे को कभी नहीं काटतीं और हमेशा एक समान दूरी पर रहती हैं, उन्हें समांतर रेखाएं कहते हैं।

✅ विशेषताएं:

• समांतर रेखाओं के बीच कोणों का योग कुछ खास नियमों का पालन करता है।
• यदि एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटे, तो समकोणीय कोण बराबर होते हैं।

🔸 उदाहरण:
रेखाएं AB और CD समांतर हैं। यदि एक अनुप्रस्थ रेखा इन्हें काटती है और एक कोण 60° है, तो उसके विपरीत कोण भी 60° होंगे।

---

2️⃣ कोणों के युग्म (Pairs of Angles)

जब दो रेखाएं एक-दूसरे को काटती हैं, तो वे विभिन्न प्रकार के कोण बनाती हैं।

✅ मुख्य प्रकार:

• पूरक कोण (Complementary Angles): दो कोण जिनका योग 90° हो।
• पूरक कोण (Supplementary Angles): दो कोण जिनका योग 180° हो।
• ऊर्ध्व कोण (Vertically Opposite Angles): समान होते हैं।
• रेखीय युग्म (Linear Pair): एक सीधी रेखा पर बनने वाले दो कोण जिनका योग 180° हो।

🔸 उदाहरण:
यदि एक कोण 110° है और वह एक रेखीय युग्म में है, तो दूसरा कोण = 180° - 110° = 70°

---

3️⃣ त्रिभुज के गुण (Properties of Triangle)

त्रिभुज एक ऐसा बहुभुज होता है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।

✅ मुख्य गुणधर्म:

• त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है।
• किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
• समद्विबाहु, समबाहु और विषमबाहु त्रिभुज के अलग-अलग गुण होते हैं।

🔸 उदाहरण:
यदि किसी त्रिभुज के दो कोण 50° और 60° हैं, तो तीसरा कोण = 180° - (50° + 60°) = 70°

---

4️⃣ बाहरी कोण का गुण (Exterior Angle Property)

किसी त्रिभुज का बाहरी कोण = उसके विपरीत दो आंतरिक कोणों का योग होता है।

🔸 उदाहरण:
त्रिभुज ABC में ∠A = 40°, ∠B = 60°
तो बाहरी कोण ∠D = 40° + 60° = 100°

---

🔷 Coordinate Geometry (निर्देशांक ज्यामिति)

यह ज्यामिति और गणित का वह भाग है जिसमें हम बिंदुओं, रेखाओं और आकृतियों को निर्देशांक अक्षों (x और y) के सहारे दर्शाते हैं।

1️⃣ निर्देशांक (Coordinates)

किसी भी बिंदु की स्थिति को एक जोड़ी संख्याओं (x, y) द्वारा दर्शाया जाता है।

🔸 उदाहरण:
बिंदु P(3, 4) का अर्थ है – x = 3 और y = 4।

2️⃣ चतुर्थांश (Quadrants)

निर्देशांक प्रणाली को चार भागों में बांटा गया है:

1. I Quadrant → (+x, +y)
2. II Quadrant → (–x, +y)
3. III Quadrant → (–x, –y)
4. IV Quadrant → (+x, –y)

---

3️⃣ दूरी सूत्र (Distance Formula)

दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

\text{Distance} = \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}

🔸 उदाहरण:
A(2, 3), B(5, 7)

= \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

---

4️⃣ मध्य बिंदु सूत्र (Midpoint Formula)

दो बिंदुओं A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच का मध्य बिंदु:

\text{Midpoint} = \left( \frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2} \right)

🔸 उदाहरण:
A(2, 4), B(6, 8)

= \left( \frac{2+6}{2}, \frac{4+8}{2} \right) = (4, 6)

---

यहाँ इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति (Geometry and Coordinate Geometry) पर आधारित 10 वन लाइनर प्रश्न और 10 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs with answers) दिए गए हैं, जो MP प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के लिए उपयोगी हैं:

---

🔹 10 One Liner Questions and Answers

1. समांतर रेखाओं के बीच कोणों के युग्म समकोण होते हैं। ✅
2. जब दो समांतर रेखाओं को एक अनुप्रस्थ रेखा काटती है, तो वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर होते हैं। ✅
3. किसी त्रिभुज का बाहरी कोण, उससे जुड़े दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। ✅
4. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग हमेशा 180° होता है। ✅
5. निर्देशांक ज्यामिति में बिंदु की स्थिति (x, y) द्वारा बताई जाती है। ✅
6. समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग = आधार² + ऊँचाई² होता है। ✅
7. निर्देशांक ज्यामिति में x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं। ✅
8. यदि दो रेखाएं समान ढाल (slope) की हों, तो वे आपस में समांतर होती हैं। ✅
9. एक समबाहु त्रिभुज में तीनों कोण 60° होते हैं। ✅
10. किसी रेखा की ढाल = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) होती है। ✅

---

🔹 10 Multiple Choice Questions (MCQs) with Answers

1. दो समांतर रेखाओं को काटने वाली रेखा क्या कहलाती है?
A) विकर्ण
B) ऊर्ध्वाधर
C) अनुप्रस्थ ✅
D) कोण रेखा

2. त्रिभुज के तीनों कोणों का योगफल होता है –
A) 90°
B) 180° ✅
C) 360°
D) 270°

3. यदि एक रेखा की ढाल 2 है, तो इसका क्या अर्थ है?
A) यह y-अक्ष के समानांतर है
B) यह x-अक्ष के समानांतर है
C) प्रत्येक 1 x की वृद्धि पर y में 2 की वृद्धि होती है ✅
D) यह ऊर्ध्वाधर रेखा है

4. बाहरी कोण का नियम क्या कहता है?
A) बाहरी कोण = 90°
B) बाहरी कोण = अंदरूनी कोणों का अंतर
C) बाहरी कोण = दो आंतरिक कोणों का योग ✅
D) बाहरी कोण = समांतर कोण

5. समकोण त्रिभुज में यदि आधार 3 cm और ऊँचाई 4 cm हो, तो कर्ण होगा –
A) 5 cm ✅
B) 6 cm
C) 7 cm
D) 12 cm

6. निर्देशांक ज्यामिति में मूल बिंदु क्या होता है?
A) (1,1)
B) (0,0) ✅
C) (1,0)
D) (0,1)

7. एक समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण होता है –
A) 30°
B) 45°
C) 60° ✅
D) 90°

8. दो रेखाएं समांतर होती हैं यदि उनका क्या समान हो?
A) लंबाई
B) दिशा
C) ढाल ✅
D) उत्पत्ति

9. कोणों के युग्म में पूरक कोणों का योगफल होता है –
A) 180°
B) 90° ✅
C) 360°
D) 270°

10. निर्देशांक (4, -3) का अर्थ है –
A) x = -4, y = 3
B) x = 4, y = -3 ✅
C) x = 3, y = 4
D) x = -3, y = 4

---