9th Day । गणित

इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति (Geometry and Coordinate Geometry) को MP प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 के दृष्टिकोण से विस्तारपूर्वक उदाहरणों सहित समझाया गया है:

🧮 इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति

(Geometry and Coordinate Geometry)
विषय:

त्रिभुजों की सर्वांगसमता
चतुर्भुज के कोण

✳️ 1. त्रिभुजों की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles)

➤ अर्थ:

दो त्रिभुज सर्वांगसम (Congruent) होते हैं जब उनके सभी भुजाएँ और सभी कोण समान होते हैं।

🔷 त्रिभुजों की सर्वांगसमता की शर्तें:

संक्षिप्त रूप	पूर्ण रूप	अर्थ
SSS	Side-Side-Side	तीनों भुजाएँ समान हों
SAS	Side-Angle-Side	दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण समान हो
ASA	Angle-Side-Angle	दो कोण और उनके बीच की भुजा समान हो
AAS	Angle-Angle-Side	दो कोण और कोई एक भुजा समान हो
RHS	Right angle-Hypotenuse-Side	समकोण त्रिभुज में, कर्ण और एक भुजा समान हो

🔶 उदाहरण:

प्रश्न: यदि दो त्रिभुजों में:
AB = DE,
∠A = ∠D,
AC = DF
तो दोनों त्रिभुज कौन-सी शर्त से सर्वांगसम होंगे?
उत्तर: SAS (Side-Angle-Side)

✳️ 2. चतुर्भुज के कोण (Angles of a Quadrilateral)

➤ अर्थ:

चतुर्भुज वह आकृति होती है जिसमें चार भुजाएँ और चार कोण होते हैं।

🔷 महत्वपूर्ण तथ्य:

किसी भी चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।
👉 ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

🔶 प्रमुख चतुर्भुज और उनके कोणीय गुण:

चतुर्भुज का नाम	कोणों की विशेषता
समांतर चतुर्भुज	विपरीत कोण समान होते हैं
आयत (Rectangle)	सभी कोण 90° होते हैं
वर्ग (Square)	सभी कोण 90° होते हैं और सभी भुजाएँ समान होती हैं
पतंग (Kite)	एक जोड़ी विपरीत कोण समान होते हैं
समलंब (Trapezium)	केवल एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं

🔶 उदाहरण 1:

एक चतुर्भुज के तीन कोण 80°, 100°, 85° हैं। चौथे कोण का मान ज्ञात कीजिए।
📌 हल:
80° + 100° + 85° = 265°
∴ चौथा कोण = 360° − 265° = 95°

🔶 उदाहरण 2:

यदि एक आयत के सभी कोण 90° होते हैं, तो कुल कोणों का योग क्या होगा?
📌 उत्तर:
90° + 90° + 90° + 90° = 360°

✅ निष्कर्ष:

त्रिभुजों की सर्वांगसमता को पहचानने के लिए 5 नियमों (SSS, SAS, ASA, AAS, RHS) को याद रखें।
चतुर्भुज के सभी कोणों का योग हमेशा 360° होता है।
विभिन्न चतुर्भुजों की कोणीय विशेषताओं को पहचानने से प्रश्नों को जल्दी हल किया जा सकता है।

इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति
(Geometry and Coordinate Geometry)
मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025 हेतु विस्तारपूर्वक अध्ययन सामग्री

🔸 विषय: वृत्त से संबंधित प्रमेय (Theorems Related to Circle)

👉 1. प्रमेय 1: किसी वृत्त के स्पर्श रेखा और केन्द्र से बनाए गए त्रिज्या के बीच कोण 90° होता है।

📌 उदाहरण:
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है और O इसका केंद्र है। एक स्पर्श रेखा AB बिंदु P पर वृत्त को स्पर्श करती है।
➡️ ∠OPA = 90° होगा।

✍️ महत्व: यह प्रमेय त्रिभुज और वृत्त के सम्मिलन में अत्यंत उपयोगी है।

👉 2. प्रमेय 2: किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।

📌 उदाहरण:
बिंदु P से एक वृत्त को दो स्पर्श रेखाएँ खींची गईं – PA और PB
➡️ तो PA = PB होगा।

✍️ प्रमाण में सहसंकोण त्रिभुजों का उपयोग किया जाता है।

👉 3. प्रमेय 3: किसी वृत्त के व्यास द्वारा बनाए गए कोण 90° होता है।

📌 उदाहरण:
ABC एक अर्धवृत्त में स्थित त्रिभुज है जिसमें AB व्यास है।
➡️ ∠ACB = 90° होगा।

✍️ यह प्रमेय अनेक प्रश्नों में सीधे रूप से लागू होता है।

🔸 विषय: ज्यामितीय रचनाएँ (Geometrical Constructions)

👉 1. किसी रेखा खंड की समद्विभाजक रचना करना

📌 स्टेप्स:

एक रेखा खंड AB लें।
A और B को केंद्र मानकर एक ही त्रिज्या से चाप खींचें।
दोनों चापों के कटाव बिंदुओं को मिलाकर रेखा खींचें।
➡️ यह रेखा AB की समद्विभाजक होगी।

👉 2. दिए गए कोण की समद्विभाजक खींचना

📌 स्टेप्स:

कोण AOB पर एक चाप खींचिए जो दोनों भुजाओं को काटे।
कटाव बिंदुओं से बराबर त्रिज्या पर चाप खींचें।
इन चापों के मिलने वाले बिंदु को O से मिलाएँ।
➡️ यह कोण की समद्विभाजक होगी।

👉 3. समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करना (Given base and equal sides)

📌 उदाहरण:
यदि BC = 6 सेमी आधार हो और AB = AC = 5 सेमी हो,

BC रेखा खींचिए।
B और C को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या की चाप खींचिए।
चापों के मिलन बिंदु को A मानकर A से B और C को मिलाइए।
➡️ ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज होगा।

✅ महत्वपूर्ण टिप्स परीक्षा हेतु:

प्रमेयों के चित्र अभ्यास करें।
प्रमेयों के प्रमाण रटने की बजाय समझें।
रचनाएँ प्रैक्टिस करें – जैसे समद्विभाजक, कोणों का विभाजन, समद्विबाहु व समकोण त्रिभुज।
निर्देशांक ज्यामिति में दूरी सूत्र, मध्य बिंदु सूत्र, क्षेत्रफल सूत्र को अलग से पढ़ें।

इकाई – 8: ज्यामिति एवं निर्देशांक ज्यामिति (Geometry and Coordinate Geometry) पर आधारित 10-10 MCQs (प्रत्येक भाग से) उत्तर सहित दिए जा रहे हैं:

🔵 वृत्त से संबंधित प्रमेय (10 MCQs with Answers)

प्रश्न 1. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण कितना होता है?
A) 45°
B) 60°
C) 90° ✅
D) 180°

प्रश्न 2. किसी वृत्त को किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लंबाई —
A) समान होती है ✅
B) भिन्न होती है
C) बराबर नहीं होती
D) कोई नियम नहीं

प्रश्न 3. किसी वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखा तक की दूरी क्या कहलाती है?
A) त्रिज्या
B) लंबवत दूरी ✅
C) स्पर्श दूरी
D) जीव

प्रश्न 4. किसी वृत्त के केंद्र से एक बिंदु तक खींची गई रेखा जो वृत्त को एक ही बिंदु पर छूती है, वह कहलाती है—
A) जीवा
B) व्यास
C) स्पर्श रेखा ✅
D) धनुष

प्रश्न 5. यदि एक वृत्त में दो स्पर्श रेखाएं खींची जाती हैं, तो वे किस बिंदु पर मिलती हैं?
A) वृत्त के अंदर
B) वृत्त पर
C) केंद्र पर
D) वृत्त के बाहर ✅

प्रश्न 6. किसी वृत्त की दो समद्विबाहु त्रिभुजों की परिधि समान होने पर उनके कोण—
A) समान होते हैं ✅
B) भिन्न होते हैं
C) 180° के होते हैं
D) कुछ नहीं कहा जा सकता

प्रश्न 7. यदि ∠ACB = 90° और AB वृत्त का व्यास है, तो C कहाँ स्थित है?
A) वृत्त के केंद्र पर
B) वृत्त के परिधि पर ✅
C) वृत्त के बाहर
D) कहीं भी

प्रश्न 8. किसी वृत्त में स्पर्श रेखा और जीवा के बीच अधिकतम कोण कब होता है?
A) जब जीवा केंद्र से होकर जाती है ✅
B) जब जीवा बहुत छोटी हो
C) जब जीवा वृत्त के बाहर हो
D) कोई नियम नहीं

प्रश्न 9. स्पर्श रेखा और त्रिज्या का मिलन बिंदु क्या कहलाता है?
A) केंद्र
B) छेदन बिंदु ✅
C) व्यास
D) अर्धव्यास

प्रश्न 10. वृत्त की स्पर्श रेखा को किसी रेखा से छूने वाले बिंदु को क्या कहते हैं?
A) केंद्र
B) स्पर्श बिंदु ✅
C) अंतिम बिंदु
D) आधार बिंदु

🔷 ज्यामितीय रचनाएँ (10 MCQs with Answers)

प्रश्न 1. एक रेखाखंड की समद्विभाजक खींचने के लिए कितने चापों की आवश्यकता होती है?
A) 1
B) 2
C) 4 ✅
D) 3

प्रश्न 2. कोण की समद्विभाजक दो भुजाओं के बीच क्या करती है?
A) कोण को दो बराबर भागों में बांटती है ✅
B) त्रिज्या बढ़ाती है
C) आधार बदलती है
D) कुछ नहीं

प्रश्न 3. समकोण त्रिभुज की रचना में कौन सा कोण आवश्यक होता है?
A) 30°
B) 60°
C) 90° ✅
D) 120°

प्रश्न 4. समद्विबाहु त्रिभुज में कितनी भुजाएँ समान होती हैं?
A) एक
B) दो ✅
C) तीन
D) चार

प्रश्न 5. समकोण त्रिभुज में कर्ण की स्थिति क्या होती है?
A) एक भुजा के समानांतर
B) सबसे लंबा पक्ष ✅
C) त्रिज्या के समान
D) केंद्र रेखा

प्रश्न 6. त्रिभुज की रचना में कौन सा उपकरण सबसे पहले प्रयोग होता है?
A) प्रोटेक्टर
B) रूलर ✅
C) सेट स्क्वायर
D) ग्राफ पेपर

प्रश्न 7. 60° कोण बनाने के लिए कौन-से दो कोणों को जोड़ा जाता है?
A) 30° + 30°
B) 45° + 15°
C) 30° + 60°
D) 30° + 30° ✅

प्रश्न 8. किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?
A) 90°
B) 180° ✅
C) 360°
D) 270°

प्रश्न 9. समद्विभाजक खींचने पर बनने वाले कोणों का अनुपात क्या होगा?
A) बराबर ✅
B) भिन्न
C) समान नहीं
D) ज्ञात नहीं

प्रश्न 10. कोण समद्विभाजक की रचना के लिए किस यंत्र की आवश्यकता नहीं होती?
A) कांपस
B) रूलर
C) प्रोटेक्टर ✅
D) पेंसिल