17th Day । गणित

प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा 2025

इकाई 9: क्षेत्रमिति (Mensuration)
क्षेत्रमिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के माप, जैसे कि क्षेत्रफल (Area), परिमाप (Perimeter), और आयतन (Volume) का अध्ययन करते हैं। इस इकाई में हम वृत्त (Circle) और उससे संबंधित आकृतियों पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

1. वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल (Area related to Circles)

वृत्त (Circle):
वृत्त एक ऐसा समतल ज्यामितीय आकृति है जिसमें सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर होते हैं।

परिभाषा:
- केंद्र (Centre): वृत्त के बीच का निश्चित बिंदु।
- त्रिज्या (Radius - r): केंद्र से वृत्त की परिधि तक की दूरी।
- व्यास (Diameter - d): वृत्त की परिधि पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा जो केंद्र से होकर गुजरती है। (d = 2r)

2. वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and Area of a Circle)

परिमाप (Perimeter) / परिधि (Circumference):
- वृत्त की परिधि उसकी बाहरी सीमा की लंबाई होती है।
- सूत्र: C = 2πr
- यहाँ, π (पाई) एक स्थिरांक है, जिसका मान लगभग 22/7 या 3.14 होता है।
- उदाहरण: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 cm है, तो उसकी परिधि होगी:
  C = 2 × (22/7) × 7 = 44 cm
क्षेत्रफल (Area):
- वृत्त के अंदर का कुल स्थान उसका क्षेत्रफल कहलाता है।
- सूत्र: A = πr²
- उदाहरण: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 cm है, तो उसका क्षेत्रफल होगा:
  A = (22/7) × (7)² = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 cm²

3. त्रिज्यखण्ड और वृत्तखण्ड के क्षेत्रफल (Area of Sector and Segment)

त्रिज्यखण्ड (Sector of a Circle):
त्रिज्यखण्ड, दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप (Arc) से घिरा हुआ वृत्त का एक भाग होता है।

क्षेत्रफल का सूत्र:
- त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
- यहाँ, θ (theta) दोनों त्रिज्याओं के बीच का केंद्रीय कोण है।
- उदाहरण: एक वृत्त की त्रिज्या 14 cm है और केंद्रीय कोण 60° है। त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
  क्षेत्रफल = (60°/360°) × (22/7) × (14)²
  क्षेत्रफल = (1/6) × (22/7) × 196 = (1/6) × 22 × 28 = 616/6 ≈ 102.67 cm²

वृत्तखण्ड (Segment of a Circle):
वृत्तखण्ड, एक जीवा (Chord) और उसके संबंधित चाप से घिरा हुआ वृत्त का भाग होता है।

क्षेत्रफल का सूत्र:
- वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल
- उदाहरण: पिछले उदाहरण में, त्रिज्या 14 cm और कोण 60° है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करके वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल निकालें।
  - ∆AOB का क्षेत्रफल (समबाहु त्रिभुज) = (√3/4) × a²
  - क्षेत्रफल = (√3/4) × (14)² = (√3/4) × 196 = 49√3 cm²
  - वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 102.67 - 49√3 ≈ 102.67 - 84.87 ≈ 17.8 cm²

4. समस्त आकृतियों के संयोजन का क्षेत्रफल (Area of Combination of Plane Figures)

इस प्रकार के प्रश्नों में, आपको एक ही आकृति में विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों (जैसे वृत्त, वर्ग, त्रिभुज, आयत) का संयोजन दिया जाता है। आपको उन आकृतियों के क्षेत्रफल के सूत्रों का उपयोग करके छायांकित (Shaded) भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना होता है।

पद्धति:
- पहले पूरी आकृति को पहचानें।
- फिर छायांकित भाग और अछायांकित भाग को अलग-अलग पहचानें।
- आवश्यकतानुसार सभी आकृतियों का क्षेत्रफल निकालें।
- छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त सूत्रों का उपयोग करें (जैसे, बड़ी आकृति का क्षेत्रफल - छोटी आकृति का क्षेत्रफल)।
उदाहरण:
एक वर्ग जिसकी भुजा 10 cm है, उसके अंदर एक वृत्त बनाया गया है। वर्ग के बचे हुए भाग (अछायांकित) का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- वर्ग का क्षेत्रफल: भुजा × भुजा = 10 × 10 = 100 cm²
- वृत्त की त्रिज्या: चूँकि वृत्त वर्ग के अंदर है, तो वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होगा।
  ⇒ व्यास = 10 cm और त्रिज्या = 10/2 = 5 cm
- वृत्त का क्षेत्रफल: πr² = 3.14 × (5)² = 3.14 × 25 = 78.5 cm²
- बचे हुए भाग का क्षेत्रफल: वर्ग का क्षेत्रफल - वृत्त का क्षेत्रफल
  क्षेत्रफल = 100 - 78.5 = 21.5 cm²