18th Day । गणित

नमस्ते! मध्य प्रदेश प्राथमिक शिक्षक चयन परीक्षा हेतु गणित के पाठ्यक्रम में, इकाई 9 'क्षेत्रमिति' के अंतर्गत, घन और घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल एक महत्वपूर्ण टॉपिक है। आइए इसे विस्तारपूर्वक और उदाहरणों के साथ समझते हैं।

इकाई 9: क्षेत्रमिति

क्षेत्रमिति गणित की वह शाखा है जिसमें ज्यामितीय आकृतियों के माप, जैसे कि लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन, का अध्ययन किया जाता है। यहाँ हम मुख्य रूप से घन और घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

घन (Cube)

एक घन एक त्रि-आयामी (3D) आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ (लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई) समान होती हैं। यह छह वर्गाकार फलकों (faces) से मिलकर बनता है।

उदाहरण: एक पासा, रुबिक क्यूब, या चीनी का एक टुकड़ा।

घन की मुख्य विशेषताएँ:

फलक (Faces): 6
शीर्ष (Vertices): 8
किनारे (Edges): 12
सभी फलक वर्गाकार होते हैं।
सभी भुजाओं की लंबाई बराबर होती है।

1. घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of a Cube)

किसी भी ठोस आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके सभी फलकों के क्षेत्रफल का योग होता है।
एक घन में 6 वर्गाकार फलक होते हैं, और प्रत्येक वर्ग का क्षेत्रफल भुजा × भुजा = a² होता है।

इसलिए, घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 6 × (एक वर्गाकार फलक का क्षेत्रफल)
= 6 × a²
सूत्र: घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

उदाहरण 1:
एक घन की भुजा 5 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
घन की भुजा (a) = 5 सेमी
घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 5² = 6 × 25 = 150 वर्ग सेमी
अतः, घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है।

2. घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area of a Cube)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल का अर्थ है चारों ओर के फलकों का क्षेत्रफल, जिसमें ऊपर का (छत) और नीचे का (तल) फलक शामिल नहीं होता है।
एक घन में 4 पार्श्व फलक होते हैं।

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × a²
सूत्र: घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²

उदाहरण 2:
एक कमरे की दीवारें घनाकार हैं, जिसकी प्रत्येक भुजा 4 मीटर है। यदि कमरे की चारों दीवारों पर पेंट कराना हो, तो पेंट के लिए कितना क्षेत्रफल होगा?

हल:
घन की भुजा (a) = 4 मीटर
घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4 × 4² = 4 × 16 = 64 वर्ग मीटर
अतः, पेंट कराने के लिए 64 वर्ग मीटर क्षेत्रफल होगा।

घनाभ (Cuboid)

एक घनाभ एक त्रि-आयामी (3D) आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई अलग-अलग हो सकती हैं। यह छह आयताकार फलकों से मिलकर बनता है।

उदाहरण: एक माचिस की डिब्बी, ईंट, या एक किताब।

घनाभ की मुख्य विशेषताएँ:

फलक (Faces): 6
शीर्ष (Vertices): 8
किनारे (Edges): 12
इसके फलक आयताकार होते हैं।

1. घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area of a Cuboid)

घनाभ में तीन जोड़ी आयताकार फलक होते हैं, और प्रत्येक जोड़ी में दो फलक समान क्षेत्रफल के होते हैं:

सामने और पीछे के फलक: क्षेत्रफल = l × h (प्रत्येक)
ऊपर और नीचे के फलक: क्षेत्रफल = l × b (प्रत्येक)
बाएँ और दाएँ के फलक: क्षेत्रफल = b × h (प्रत्येक)

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 2(l × h) + 2(l × b) + 2(b × h)
= 2(lb + bh + hl)
सूत्र: घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

उदाहरण 3:
एक माचिस की डिब्बी की लंबाई 4 सेमी, चौड़ाई 2.5 सेमी और ऊँचाई 1.5 सेमी है। ऐसी 12 डिब्बियों वाले एक पैकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
l = 4 सेमी, b = 2.5 सेमी, h = 1.5 सेमी
एक डिब्बी का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(4 × 2.5 + 2.5 × 1.5 + 1.5 × 4)
= 2(10 + 3.75 + 6)
= 2(19.75) = 39.5 वर्ग सेमी

अब, 12 डिब्बियों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 12 × 39.5 = 474 वर्ग सेमी
अतः, 12 डिब्बियों वाले पैकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 474 वर्ग सेमी है।

2. घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area of a Cuboid)

यह चारों दीवारों का क्षेत्रफल होता है। इसमें ऊपर और नीचे के फलक शामिल नहीं होते हैं।

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l × h) + 2(b × h) = 2h(l + b)
इसे इस तरह भी समझा जा सकता है:
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = आधार का परिमाप × ऊँचाई
आधार का परिमाप = 2(l+b)
तो, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(l+b)h

सूत्र: घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l+b)

उदाहरण 4:
एक कमरे की लंबाई 6 मीटर, चौड़ाई 5 मीटर और ऊँचाई 4 मीटर है। इस कमरे की चारों दीवारों पर पुताई का खर्च ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।

हल:
l = 6 मीटर, b = 5 मीटर, h = 4 मीटर
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l+b)
= 2 × 4(6 + 5) = 8(11) = 88 वर्ग मीटर
पुताई का खर्च = क्षेत्रफल × दर = 88 × ₹20 = ₹1760
अतः, पुताई का कुल खर्च ₹1760 होगा।